Mundo O que é o “problema dos beijos” que atormenta os matemáticos há séculos
Por Redação O Sul | 18 de junho de 2023
Tudo começou no século 16 com o famoso explorador ou pirata (dependendo do seu ponto de vista) Walter Raleigh. Mas ele não era matemático nem, pelo que sabemos, tinha problemas com beijos. O que ele tinha eram balas de canhão e uma pergunta: qual era a maneira mais eficaz de empilhá-las para minimizar ao máximo o espaço que ocupavam em suas embarcações?
Era um problema matemático – e, na matemática, essas balas são esferas e “beijo” (ou ósculo) pode ser uma forma de chamar os pontos em que uma esfera toca a outra. A questão de Raleigh geraria um mistério matemático que povoaria mentes brilhantes por centenas de anos.
Ele fez a pergunta a seu consultor científico em uma viagem à América em 1585, o ilustre matemático Thomas Harriot, que deu a ele uma solução: “A melhor maneira de armazenar suas balas de canhão era organizá-las em forma de pirâmide”.
Em um manuscrito de 1591, Harriot fez para ele uma tabela mostrando como, dado o número de balas de canhão, alguém poderia calcular quantas colocar na base de uma pirâmide com uma base triangular, quadrada ou oblonga (alongada).
Mas Harriot continuou pensando sobre o assunto, e levou em consideração as implicações para a teoria atômica da matéria, que estava em voga na época.
Ao comentar sobre essa teoria em correspondência com o amigo Johannes Kepler, o famoso astrônomo, ele mencionou o problema do armazenamento.
Kepler supôs que a maneira ideal de minimizar o espaço deixado pelas lacunas entre as esferas era fazer com que os centros das esferas em cada camada ficassem acima de onde as esferas da parte de baixo se “beijavam”.
Isso é o que muitas vezes se faz com as frutas nos mercados, por exemplo.
Essa forma, que parece tão intuitivamente óbvia, se revelou extremamente difícil de provar matematicamente.
Embora muitos tenham tentado, incluindo Johann Carl Friedrich Gauss, “o príncipe da matemática”, a mesma só foi comprovada quase quatro séculos depois, em 1998, com o trabalho de Thomas Hales, da Universidade de Michigan, nos EUA, e o poder de um computador.
E nem sequer essa verificação convenceu todos os matemáticos; ainda hoje há quem não a considere digna da conjectura de Kepler – que indica que se empilhamos esferas iguais, a densidade máxima é alcançada com um empilhamento piramidal de faces centradas.
As incógnitas das esferas
Essa não foi a única dor de cabeça causada por objetos esféricos. Na verdade, uma ampla categoria de problemas matemáticos é chamada de “problemas de empacotamento de esferas”. Resolvê-los serviu para desde explorar a estrutura dos cristais até otimizar os sinais enviados por celulares, sondas espaciais e internet.
E assim como Raleigh com suas balas de canhão, as indústrias de logística, de matérias-primas e muitas outras dependem fortemente de métodos de otimização fornecidos pela matemática.
Matemáticos descobriram, por exemplo, que esferas empilhadas aleatoriamente tendem a ocupar qualquer espaço com uma densidade de aproximadamente 64%. Mas se você colocá-las cuidadosamente em ordem de maneiras específicas, poderá chegar a 74%.
Esses 10% representam uma economia não apenas nos custos de transporte, mas também nos danos ao meio ambiente.
Mas aplicações práticas como essa requerem provas matemáticas, e o empacotamento de esferas trouxe incógnitas particularmente difíceis, assim como a conjectura de Kepler.
Uma delas surgiu de uma conversa entre Isaac Newton, um dos maiores cientistas de todos os tempos, e David Gregory, o primeiro professor universitário a ensinar as teorias de ponta de Newton.
Era um problema de número de “beijos”, mas… O que são? Imagine que você tem vários círculos de papelão do mesmo tamanho e deseja colá-los em um quadro ao redor de um deles.
O número de “beijos” é igual ao número máximo de círculos que você consegue colocar “beijando” – ou tocando – o central. Simples assim.
Acontece que os matemáticos mostraram que no máximo 6 círculos podem ser colocados em torno do inicial, então o número de “beijos” é 6. Agora imagine que em vez de círculos de papelão, você tem bolas de borracha, todas do mesmo tamanho.
Novamente a pergunta é: qual é o número máximo de bolas que você pode colocar ao redor de uma no centro? Ao adicionar essa terceira dimensão – o volume -, a questão de especificar o número de “beijos” se tornou mais complicada.
E foram necessários dois séculos e meio para descomplicá-la.
